JeanVaillant L¿oeuvre de Jean Leray est originale et profonde; ses théorèmes et ses théories sont au coeur des recherches mathématiques actuelles: la beauté de chacun de ses travaux ne se divise pas. Son cours de Princeton, sous forme de notes en anglais (et d¿une traduction en russe) en est une belle illustration: ce cours présente les équations aux dérivées partielles à partir de la transformation de Laplace et du théorème de Cauchy¿Kowaleska et contient l¿essentiel de nombreusesrecherchesmodernes. Lerayavaitpourbutderésoudreunproblème, souvent d¿origine mécanique ou physique ¿ qui se pose, et non qüon se pose ¿, de démontrer un théorème; il construit alors son oeuvre de façon complète et essentiellement intrinsèque. En fait, Leray construit une théorie dont l¿extension tient à son origine naturelle, l¿acuité, la perfection, la profondeur d¿esprit de son auteur;enmêmetempsildominelescalculs,qüilmèneavecplaisiretélégance: «Il n¿y a pas de mathématiques sans calculs» disait-il. La science était au centre de la vie de Jean Leray. Il s¿inquiétait de sa sauvegarde. Rappelons quelques phrases de ses textes de 1974: «D¿ailleurs la science ne s¿apprend pas: elle se comprend. Elle n¿est pas lettre morte et les livres n¿assurent pas sa pérennité; elle est une pensée vivante. Pour la maîtriser notre esprit doit, habilement guidé, la redécouvrir de même que notre corps à dû revivre dans le sein mat- nel, toute l¿évolution qui créa notre espèce. Aussi n¿y a-t-il qüune façon ef?cace d¿enseigner les sciences et les techniques: transmettre l¿esprit de recherche.

I: Hyperbolic Systems and Equations.- Caractère holonôme d'une solution élémentaire.- Necessary conditions for hyperbolicity of first order systems.- On the Cauchy problem for hyperbolic operators with non-regular coefficients.- Multiple points of the characteristic manifold of a diagonalizable operator.- Large temps de vie des solutions d'un problème de Cauchy non linéaire.- Une remarque sur un prolongement analytique de la solution du problème de Cauchy.- Conormality and lagrangian properties along diffractive rays.- Caractérisation des opérateurs différentiels hyperboliques.- A dependence domain for a class of micro-differential equations with involutive double characteristics.- Ramification non abélienne.- II: Symplectic Mechanics and Geometry.- Extension du calcul différentiel et application à la théorie des groupes de Lie en dimension infinite.- The cohomological meaning of Maslov's lagrangian path intersection index.- A Kähler structure on the punctured cotangent bundle of the Cayley projective plane.- On mechanical systems with a Lie group as configuration space.- Dirac fields on asymptotically simple space-times.- An embedding result for some general symbol classes in the Weyl calculus.- The lagrangian in symplectic mechanics.- Geometry of solution spaces of spaces of Yang-Mills equations.- III: Sheaves and Spectral Sequences.- La theórie des résidus sur un espace analytique complexe.- Derivation of exact triples and Leray-Koszul spectral sequences.- IV: Elliptic Operators; Index Theory.- Le noyau de la chaleur des opérateurs sous-elliptiques des groupes d'Heisenberg.- The geometry of Cauchy data spaces.- On the Cauchy problem for Kirchhoff equations of p-laplacian type.- A remark on surgery in index theory of elliptic operators.- Theq invariant and elliptic operators in subspaces.- Regularisation of mixed boundary problems.- V: Mathematical Physics.- Covariant method for solution of Cauchy's problem based on Lie group analysis and Leray's form.- Liouville forms, parallelisms and Cartan connections.- A two-dimensional non-linear shell model of Koiter's type.- A model of the process of thinking based on the dynamics of bundles of branches and sets of bundles of p-adic trees.- Global wave maps on black holes.- Entanglement, parataxy, and cosmology.- Sur le contrôle des équations de Navier-Stokes.- Addresses.